Подведём итоги:
До 1083 года Тмуторокань принадлежала Руси и власть Византии на неё не распространялась.
"В лѣто 6574. Ростиславу сѣдящу вь Тмуторокани и емлющи дань у касогъ и в ыных странахъ, сего же убоявъ же ся грѣци, послаша с лестью котопана. Оному же пришедшю кь Ростиславу и увѣрившюся ему, и чьтяше ̀и Ростиславъ. Единою же пьющу Ростиславу с дружиною своею, рече котопанъ: «Княже! Хощю на тя пити». Оному же рекшу: «Пий». Онъ же, испивъ половину чаши, а половину вдасть князю пити, дотиснувься палцемь в чашю, бѣ бо имѣя подъ ногътемь растворение смертьное, и дасть князю, урекъ смерть до осми дний. Оному же испившю, котопанъ же, пришедъ Кьрсуню, повѣда, яко в сий день умреть Ростиславъ, якоже и бысть. Сего же котопана побиша камениемь людье корсуньстии..."(ПВЛ 1066)
Дукат (катепанат) – крупный военно-административный округ в Византийской империи второй половины X – XI в., который включал в себя территории нескольких фем.
Правители этих округов, дуки или катепаны, являлись высшими должностными лицами в системе провинциального управления Византии, и подчинялись только императору.
Итак, власть Византии в Крыму до 1083 года, времени возвращения с Родоса Олега Гориславича, ограничивалась территорией северо-восточного Крыма с Росией (Керчью). Печати правителей в этот период:
"стратиг Херсона и Сугдеи". "
В 70– 80 ‐ е гг. XI в. Сугдея, где, по всей видимости, именно в это время функционировал собственный стратиг, была основным (если не единственным) опорным пунктом Византии в Крыму [Zuckerman 2017: 312 – 314, 327 – 328].С помощью Византии в 1083 году Олег Гориславич отвоёвывает Тмуторокань у Руси и садится в ней КVРЪ от др.-греч. κύριος (господин) архонтом (= князем) и дуком (= наместником).
"С середины XI в. взоры византийских императоров все сильнее привлекает Тмуторокань. К 1059 г. Византия владела Восточным Крымом (Сугдеей) . Между населением греческих колоний в Крыму и жителями Тмуторокани установились дружественные отношения. Экономическое значение Херсона падало, и овладение богатой и удаленной от основных русских земель Тмутороканью становилось для Византии все более заманчивым делом. Однако Византия соблюдала осторожность. Случай представился лишь в царствование Алексея I. В 1079 г., еще при Вотаниате, по соглашению с византийским двором великому князю Всеволоду удалось сослать в Византию тмутороканского князя Олега. Олег и стал орудием замыслов Алексея I. Он прожил в Византии четыре года. Там он женился на знатной гречанке Феофано Музалонисе. В 1083 г. Олег вернулся и, видимо, с помощью империи снова утвердился в Тмуторокани, которой владел, может быть, до своей смерти в 1115 г. С 1094 г. упоминания о Тмуторокани исчезают из русских летописей. Разгадку этого, по всей вероятности, следует видеть в том, что, помогая Олегу вернуться, Алексей обеспечил себе верховные права на Тмуторокань. Подтверждение этому можно усмотреть в сообщении Мануила Страворомана о том, что Алексей I сделал приобретение на «Боспоре Киммерийском» , где и находилась Тмуторокань..."
---
Литаврин Г.Г. Русско-Византийские отношения в XI—XII вв.//История Византии: В 3 т./М.: Наука, 1967, Т. 2. Глава 15: С. 352
С 1083 по 1094 у Олега Святославича было 4 типа печатей:
І тип. «Архонт Русі» (=Керчи)
ІІ Тип. «Архонт Матрахі, Зіхії та всієї Хазарії».
ІІІ тип. «Архонт і дука Матрахи та всієї Хазарії»
ІV тип. «Михаїл Матархський».
см.
Алфьоров О. Печатка Мiхаила, архонта i дуки Матрахи и всiei Хазарii з коллекцii O. Шереметьева // Сфрагистический меридиан: Киiв-Корсунь-Константинополь. Международный коллоквиум по русско-византийской сфрагистике. Киев.13–16 сентября 2013 г. Материалы. Севастополь, 2013. С. 29–31.Видимо, последовательность печатей такая:
1) «Михаїл Матархський» (безземельный князь в 4-х летнем византийском плену)
2) «Архонт Росии» (= Керчи) Восточный Крым был и до 1083 византийским, тогда к этому периоду относится и печать его жены (sic!) Феофано Музалон: Κ[ύρι]ε β[οή]θ[ει] τη ση δούλη θεοθάνου άρχοντήσ[σ]η '
Ρωσίας τη Μουζαλονήσ[σ]η («Господи, помоги рабе твоей Феофании,
архонтиссе Росии, Музалониссе»)
см.
Янин В. Л. Печати Феофано Музалон // Нумизматика и сфрагистика. Киев, 1965. Вып. 2. С.76-90
Печати Феофано Музалон: 1) экз. Эрмитажа; 2) экз. Берлинского музея.Два портовых города по обе стороны Керченского пролива - Матарха (=Тмуторокань) и Росия (=Керчь) - были упомянуты в греко-генуэзских торговых договорах 1169 и 1192 гг.
3) «Архонт і дука Матрахи та всієї Хазарії» = князь и византийский наместник Матархи и Восточного Крыма (Сугдеи)
4) «Архонт Матрахі, Зіхії та всієї Хазарії» -= это когда он начал экспансию на запад от Матархи, отвоёвывая эти земли у Руси:
Тъй бо Олегъ мечемъ крамолу коваше и стрѣлы по земли сѣяше. Ступаетъ въ златъ стремень въ градѣ Тьмутороканѣ. То же звонъ слыша давный великый Ярославь, <а> сынъ Всеволожь Владиміръ по вся утра уши закладаше въ Черниговѣ.
Ярослав Мудрый предвидел экспансию Византии, начиная с отвоевания у Руси Тмуторокани, а Владимир Мономах с утра засовы врат Чернигова закладывал, опасаясь нападения
куръ Тмутороканя.